三角函数定义域和值域

三角函数的定义域和值域是理解这些函数的基础概念。以下是三角函数定义域和值域的总结：

正弦函数（sin）

定义域 ：全体实数集 \\（ R \\）

值域 ： \\（ [-1, 1] \\）

余弦函数（cos）

定义域 ：全体实数集 \\（ R \\）

值域 ： \\（ [-1, 1] \\）

正切函数（tan）

定义域 ：所有不等于 \\（ k\\pi + \\frac{\\pi}{2} \\） 的实数，其中 \\（ k \\） 是任意整数

值域 ：全体实数集 \\（ R \\）

余切函数（cot）

定义域 ：所有不等于 \\（ k\\pi \\） 的实数，其中 \\（ k \\） 是任意整数

值域 ：全体实数集 \\（ R \\）

正割函数（sec）

定义域 ：所有不等于 \\（ k\\pi \\） 的实数，其中 \\（ k \\） 是任意整数

值域 ：全体实数集 \\（ R \\）

余割函数（csc）

定义域 ：所有不等于 \\（ k\\pi \\） 的实数，其中 \\（ k \\） 是任意整数

值域 ：全体实数集 \\（ R \\）

正弦和余弦的线性组合 \\（ y = a\\sin x + b\\cos x \\）

值域 ： \\（ [c - \\sqrt{a^2 + b^2}, c + \\sqrt{a^2 + b^2}] \\），其中 \\（ c = a\\sin x + b\\cos x \\）

周期函数 \\（ y = A\\sin（\\omega x + \\varphi） \\）

周期 ： \\（ T = \\frac{2\\pi}{\\omega} \\）

导数

\\（ y = \\sin x \\） 的导数是 \\（ y\' = \\cos x \\）

\\（ y = \\cos x \\） 的导数是 \\（ y\' = -\\sin x \\）

\\（ y = \\tan x \\） 的导数是 \\（ y\' = \\sec^2 x \\）

\\（ y = \\cot x \\） 的导数是 \\（ y\' = -\\csc^2 x \\）

反函数

反正弦 \\（ \\arcsin x \\）：定义域 \\（ [-1, 1] \\），值域 \\（ [-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}] \\）

反余弦 \\（ \\arccos x \\）：定义域 \\（ [-1, 1] \\），值域 \\（ [0, \\pi] \\）

反正切 \\（ \\arctan x \\）：定义域 \\（ （-\\infty, +\\infty） \\），值域 \\（ （-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}） \\）

倍半角规律

如果 \\（ \\cos a = \\frac{1}{2} \\），则 \\（ \\cos \\frac{a}{2} = \\pm \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\）

泰勒级数展开

正弦和余弦函数可以展开为指数级数，定义域推广至整个复数集。

微分方程解

三角函数是某些微分方程的解，例如 \\（ y\'\' = -y \\） 的通解是 \\（ y = A\\sin x + B\\cos x \\）

以上信息涵盖了三角函数的基本定义域和值域，以及它们的图像、导数、反函数和级数展开等概念。

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